Keeping six fasts in the month of Shawwal is recommended (mustahabb), and its virtue is mentioned in blessed Hadiths. Accordingly, the saying of the Messenger of Allah ﷺ is recorded with an authentic chain in reliable books of Hadith:

“On the authority of Abu Ayyub (may Allah be pleased with him), the Messenger of Allah ﷺ said:
‘Whoever fasts in Ramadan and then follows it with six (fasts) from Shawwal, it is as if he has fasted for a lifetime (the whole year).’”
(Narrated by a group except Bukhari and Nasai)

’’عن أبي أیوب عن رسول اﷲﷺ قال: من صام رمضان ثم أتبعه ستًّا من شوال فذاک صیام الدهر‘‘. رواه الجماعة إلا البخاري والنسائي‘‘. ( اعلاء السنن لظفر احمد العثمانی -کتاب الصوم – باب استحباب صیام ستۃ من شوال وصوم عرفۃ -رقم الحدیث ۲۵۴۱- ط: ادارۃ القرآن کراچی )

Translation:

The Messenger of Allah ﷺ said: “Whoever keeps the fasts of Ramadan and then keeps six fasts of Shawwal, it will be counted as fasting for the entire year.”

The reason for this is that, according to the promise of the Noble Qur’an, every good deed is rewarded at least tenfold. Thus, one month of fasting in Ramadan equals ten months of fasting, and six days of Shawwal equal sixty days (i.e., two months). In this way, the one who fasts in Ramadan and then in Shawwal is as if they have fasted the whole year.

The six fasts of Shawwal can be observed after the first day of Shawwal (Eid day is excluded), from the 2nd of Shawwal until the end of the month. They may be kept either consecutively or separately.

Therefore, one should try to observe these fasts. However, if someone does not keep them, they should not be criticized or blamed, because these are recommended (mustahabb) fasts—there is reward for observing them, but no sin for leaving them.

الدر المختار وحاشية ابن عابدين (رد المحتار) (2/ 435):
“(وندب تفريق صوم الست من شوال) ولا يكره التتابع على المختار خلافاً للثاني حاوي. والإتباع المكروه أن يصوم الفطر وخمسة بعده فلو أفطر الفطر لم يكره بل يستحب ويسن ابن كمال” . (قوله: على المختار) قال صاحب الهداية في كتابه التجنيس: إن صوم الستة بعد الفطر متتابعةً منهم من كرهه، والمختار أنه لا بأس به؛ لأن الكراهة إنما كانت؛ لأنه لايؤمن من أن يعد ذلك من رمضان فيكون تشبهاً بالنصارى والآن زال ذلك المعنى اهـ ومثله في كتاب النوازل لأبي الليث، والواقعات للحسام الشهيد، والمحيط البرهاني، والذخيرة. وفي الغاية عن الحسن بن زياد: أنه كان لايرى بصومها بأس،اً ويقول: كفى بيوم الفطر مفرقاً بينهن وبين رمضان اهـ وفيها أيضاً عامة المتأخرين لم يروا به بأساً.
واختلفوا هل الأفضل التفريق أو التتابع اهـ. وفي الحقائق: صومها متصلاً بيوم الفطر يكره عند مالك، وعندنا لايكره وإن اختلف مشايخنا في الأفضل.
وعن أبي يوسف أنه كرهه متتابعاً والمختار لا بأس به اهـ وفي الوافي والكافي والمصفى يكره عند مالك، وعندنا لايكره، وتمام ذلك في رسالة تحرير الأقوال في صوم الست من شوال للعلامة قاسم، وقد رد فيها على ما في منظومة التباني وشرحها من عزوه الكراهة مطلقاً إلى أبي حنيفة وأنه الأصح بأنه على غير رواية الأصول وأنه صحح ما لم يسبقه أحد إلى تصحيحه وأنه صحح الضعيف وعمد إلى تعطيل ما فيه الثواب الجزيل بدعوى كاذبة بلا دليل، ثم ساق كثيراً من نصوص كتب المذهب، فراجعها، فافهم. (قوله: والإتباع المكروه إلخ) العبارة لصاحب البدائع، وهذا تأويل لما روي عن أبي يوسف على خلاف ما فهمه صاحب الحقائق كما في رسالة العلامة قاسم، لكن ما مر عن الحسن بن زياد يشير إلى أن المكروه عند أبي يوسف تتابعها وإن فصل بيوم الفطر فهو مؤيد لما فهمه في الحقائق، تأمل